Garis Singgung Parabola dan Lingkaran

Halo semuanya! Hari ini kita akan membahas soal garis singgung parabola dan lingkaran. Diketahui garis y sama dengan mx ditambah c menyinggung parabola y sama dengan x kuadrat dan lingkaran x kuadrat ditambah y min satu dikuadratkan sama dengan satu. Berapa sih nilai m kuadrat yang mungkin?

Langkah pertama, kita cari hubungan ke parabolanya. Dengan menyamakan x kuadrat dengan mx ditambah c, kita dapatkan persamaan x kuadrat minus mx minus c sama dengan nol. Karena syaratnya menyinggung, maka diskriminan atau D harus nol. Dari m kuadrat minus empat dikali satu dikali minus c sama dengan nol, kita temukan c sama dengan minus m kuadrat per empat.

Langkah kedua, kita tinjau hubungan ke lingkarannya. Persamaan garisnya menjadi mx minus y minus m kuadrat per empat sama dengan nol. Lingkaran ini berpusat di nol koma satu dengan jari-jari r sama dengan satu. Kita akan menggunakan rumus jarak titik ke garis, d sama dengan mutlak Ax satu ditambah By satu ditambah C per akar A kuadrat ditambah B kuadrat sama dengan r.

Mari kita lihat visualisasi geometrisnya. Di sini terlihat grafik parabola y sama dengan x kuadrat dan sebuah lingkaran. Ada garis lurus yang menyinggung keduanya sekaligus. Kita perlu mencari kemiringan atau gradien m dari garis tersebut agar kondisi ini terpenuhi.

Langkah ketiga, kita substitusi dan selesaikan. Masukkan pusat lingkaran ke rumus jarak tadi sehingga diperoleh mutlak m dikali nol dikurang satu dikurang m kuadrat per empat, dibagi akar m kuadrat plus satu sama dengan satu. Setelah dikuadratkan, persamaannya menjadi satu ditambah m kuadrat per empat dikuadratkan sama dengan m kuadrat plus satu, yang jika dijabarkan menjadi satu ditambah m kuadrat per dua ditambah m pangkat empat per enam belas sama dengan m kuadrat plus satu.

Sekarang kita sederhanakan menjadi m pangkat empat per enam belas dikurang m kuadrat per dua sama dengan nol. Dengan memfaktorkan m kuadrat dikali m kuadrat per enam belas dikurang setengah sama dengan nol, kita dapatkan nilai m kuadrat sama dengan delapan. Jadi, salah satu nilai m kuadrat yang mungkin adalah delapan.

Sebagai kesimpulan, penyelesaian ini menggunakan dua konsep penting: pertama, konsep diskriminan untuk menentukan syarat garis singgung parabola, dan kedua, rumus jarak titik ke garis untuk menentukan syarat singgung pada lingkaran.

Itulah pembahasan soal kita kali ini. Terus semangat belajar konsep-konsep matematika lainnya ya. Sampai jumpa di video pembahasan berikutnya!