Teorema Lucas: Cara Mudah Hitung Kombinasi

Halo Sobat Matematika! Hari ini kita akan memecahkan soal yang terlihat menantang ini, yaitu mencari banyaknya bilangan bulat a sehingga kombinasi dua ribu dua puluh enam koma a habis dibagi tujuh.

Pertama, apa itu kombinasi? Bayangkan memilih k objek dari n objek tanpa urutan. Lambangnya adalah n kombinasi k. Rumusnya menggunakan faktorial, yaitu n faktorial per k faktorial dikali n minus k faktorial.

Lalu ada konsep keterbagian. Simbol garis tegak artinya habis dibagi. Dua membagi enam itu benar karena tidak ada sisa, sedangkan dua membagi tujuh itu salah. Di soal ini, kita ingin hasil kombinasi tadi habis dibagi tujuh.

Karena angkanya sangat besar, kita gunakan Teorema Lucas. Syaratnya, pembagi p harus bilangan prima. Teorema ini memecah kombinasi besar menjadi perkalian kombinasi digit-digitnya dalam basis bilangan prima tersebut.

Langkah satu, kita ubah dua ribu dua puluh enam ke basis tujuh menjadi lima, enam, dua, empat. Kita peroleh nilai n tiga sama dengan lima, n dua sama dengan enam, n satu sama dengan dua, dan n nol sama dengan empat.

Langkah dua, kita hitung yang tidak habis dibagi tujuh. Syaratnya adalah setiap digit a harus kurang dari atau sama dengan digit n. Total pilihannya adalah enam dikali tujuh dikali tiga dikali lima, yang hasilnya sama dengan enam ratus tiga puluh.

Kesimpulan akhirnya, total nilai a dari nol sampai dua ribu dua puluh enam adalah dua ribu dua puluh tujuh. Maka, yang habis dibagi tujuh adalah dua ribu dua puluh tujuh dikurang enam ratus tiga puluh, yaitu seribu tiga ratus sembilan puluh tujuh.

Terbukti bahwa Teorema Lucas adalah jalan pintas cerdas untuk masalah kombinasi besar. Matematika itu indah dan seru, bukan? Teruslah berlatih dan sampai jumpa di video edukasi selanjutnya!