Vieta Jumping: Teknik Olimpiade Matematika

Pernah dengar Vieta Jumping? Ini teknik sakti buat soal olimpiade matematika, khususnya buat ngebuktiin sesuatu kalau ada persamaan kuadrat dan bilangan bulat.

Inti dari Vieta Jumping ada dua. Pertama, rumus Vieta buat persamaan kuadrat. Ingat kan? Jumlah akar itu min b per a, hasil kali akar itu c per a.

Kedua, metode kontradiksi atau descent tak hingga. Kita misalin ada solusi terkecil, terus pakai Vieta buat nyari solusi yang lebih kecil lagi. Kontradiksi kan? Jadi asumsi awal salah.

Kapan pakenya? Biasanya kalau soal minta buktiin suatu bentuk pecahan itu bilangan kuadrat, atau nyari semua solusi bilangan bulat dari persamaan Diophantine derajat dua.

Coba soal terkenal dari IMO 1988. Diketahui a dan b bilangan bulat positif. Jika a kuadrat tambah b kuadrat dibagi a b tambah 1 adalah bilangan bulat k. Buktikan k adalah kuadrat sempurna.

Langkah pertama, ubah bentuknya jadi persamaan kuadrat dalam a. Kita dapat a kuadrat min k b a tambah b kuadrat min k sama dengan nol.

Misalkan k bukan kuadrat sempurna, dan ada solusi terkecil a, b. Anggap a lebih dari atau sama dengan b. Persamaan ini punya akar lain, sebut saja a satu.

Pakai Vieta, a tambah a satu sama dengan k b, dan a kali a satu sama dengan b kuadrat min k. Dari sini kita bisa buktikan a satu itu bilangan bulat non-negatif dan lebih kecil dari a.

Karena a satu lebih kecil dari a, kita dapat pasangan solusi baru a satu koma b yang lebih kecil. Ini kontradiksi dengan asumsi kita tadi! Jadi, k haruslah kuadrat sempurna.

Kesimpulannya, kalau ketemu soal bilangan bulat dan persamaan kuadrat, ingat Vieta Jumping. Bentuk persamaan kuadratnya, asumsikan solusi terkecil, pakai Vieta cari akar lain, dan tunjukkan kontradiksi.