Persamaan Diferensial Eksak: Konsep & Soal

Halo semuanya! Kali ini kita akan membahas Persamaan Diferensial Eksak. Bentuk umumnya adalah M x y de x ditambah N x y de y sama dengan nol. Syarat agar sebuah persamaan disebut eksak adalah turunan parsial M terhadap y harus sama dengan turunan parsial N terhadap x.

Perhatikan contoh soal berikut: dua x y ditambah y kuadrat de x, ditambah x kuadrat ditambah dua x y de y sama dengan nol. Kita identifikasi M adalah dua x y plus y kuadrat, dan N adalah x kuadrat plus dua x y. Saat kita cek syarat eksaknya, ternyata turunan M terhadap y dan turunan N terhadap x keduanya bernilai dua x plus dua y. Terbukti eksak!

Langkah pertama, kita integralkan fungsi M terhadap variabel x. Dari proses integral dua x y ditambah y kuadrat de x, kita peroleh hasilnya yaitu x kuadrat y ditambah x y kuadrat ditambah g y. Di sini, g y berfungsi sebagai konstanta integrasi terhadap variabel x.

Langkah kedua, kita cari nilai g y dengan menurunkan fungsi f terhadap y dan menyamakannya dengan fungsi N. Dari perhitungan turunan f terhadap y sama dengan N ini, kita akan mendapatkan nilai konstanta g y untuk melengkapi solusi kita.

Solusi umumnya dinyatakan sebagai f x y sama dengan c, yaitu x kuadrat y ditambah x y kuadrat sama dengan c. Jika digambarkan pada sumbu koordinat, solusi ini membentuk keluarga kurva solusi yang sangat indah seperti yang terlihat pada grafik ini.

Sebagai ringkasan: pastikan bentuk persamaannya tepat, cek syarat turunan parsialnya, integralkan M terhadap x, cari fungsi g y melalui turunan terhadap y, dan tuliskan solusi akhirnya dalam bentuk f x y sama dengan c.

Itulah konsep dan langkah mudah menyelesaikan persamaan diferensial eksak. Teruslah berlatih dan sampai jumpa di materi matematika selanjutnya!